Aivan aluksi tutustuttiin konvoluution ominaisuuksiin (laskentasäännöt: a(b+c) = ab+ac, kausaalisuuden ja stabiilisuuden tunnistus impulssivasteesta, jne.). Konvoluution ominaisuuksien käsittelyn yhteydessä tuotiin esille niiden yhteys LTI-järjestelmien yhdistämiseen: peräkkäiset tai rinnakkaiset LTI-järjestelmät voidaan esittää yhtenä järjestelmänä ja toisaalta niiden järjestys ei vaikuta lopputulokseen.
Kappaleen lopussa määriteltiin FIR- ja IIR-suotimet LTI-järjestelmien alalajeina. FIR-suotimet ovat yksinkertaisuutensa vuoksi laajemmin käytettyjä, mutta IIR-suodinten ilmaisuvoima ja laskennallinen tehokkuus tekevät niistä hyödyllisiä useissa tilanteissa. IIR-suotimet ovat analogisten suodinten digitaalinen vastine, ja niiden kertoimet saadaankin suunnittelemalla ensin vastaava analoginen suodin ja muuntamalla tulos digitaaliseksi ns. bilineaarimuunnoksella. IIR-suotimen suunnittelusta tutkittiin esimerkkiä, jossa Matlabilla suunniteltiin ns. elliptinen IIR-suodin. Tämän suotimen taajuusvaste on oheisessa kuvassa. Myöhemmin tutustutaan tarkemmin taajuusvasteen käsitteeseen, mutta nyt riittää tietää sen kuvaavan suotimen vahvistuskerrointa eri taajuuksilla. Esimerkiksi tässä tapauksessa taajuudet 0-2000 Hz tulevat nollakertaisina ulos, kun taas yli 2500 Hertsin taajuudet tulevat ulos kertoimella (noin) yksi.
Testikysymys: onko seuraava suodin FIR vai IIR?
y(n) = 0.9 y(n-1) - y(n-2) + x(n) + 0.5 x(n-1) +2 x(n-2)
Tähän nyt varmaan jokainen tietää vastauksen. Haastavampaa on selvittää esim. se, onko yo. suodin stabiili. Tähän ratkaisu löytyy prujun sivulta 68, johon pääsemme aikanaan.
Toisella tunnilla päästiin kappaleeseen 3: Fourier-muunnos. Olennaisin asia käsitteli muunnoksen ideaa alla olevan kuvan mukaisesti. Fourier-muunnoksen idea on kysyä paljonko eri taajuuksia annetussa signaalissa on. Taululla oli alla olevan piirroksen kaltainen kuva. Kuvan "yhtälössä" vasemmalla oleva signaalin pätkä jaetaan eri taajuuksiin kysymällä paljonko tarvitaan vakiotaajuutta (0.3 kpl), paljonko kerran värähtävää siniä (0.6 kpl), jne. Sama idea on kaikkien neljän muunnostyypin takana, mutta erona on montako eri taajuutta tarvitaan muodostamaan alkuperäinen signaali. Joissain tapauksissa niitä tarvitaan äärettömän paljon, jolloin kuvan summan sijaan tarvitaan integraali.
Jatkuvat tapaukset perustuvat siis integraalin laskentaan, ja käytännössä tämä täytyy tehdä muunnostaulukoiden avulla.
Aivan lopuksi ratkaistiin eräs jatkuva Fourier-muunnos: kanttiaallon
x(t) = 1 kun -1<t<1
x(t) = 0 muulloin
Fourier-muunnos on muotoa
X(w) = 2sin(w) / w
Tämähän tarkoittaa esimerkiksi sitä, ettei kanttiaalto ole kauhean hyvä tiedonsiirrossa, koska se levittäytyy ympäröiville taajuuksille aina äärettömään asti.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti